怎么做灵敏度分析

1. 怎么做灵敏度分析

制作灵敏度分析技巧：
灵敏度分析是研究与分析一个系统(或模型)的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

性质分析
在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的cj一般同市场条件等因素有关。当市场条件等因素发生变化时，cj也会随之而变化。约束条件中的 aij随工艺条件等因素的变化而改变，bi的值则同企业的能力等因素有关。
线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。

2. 灵敏度分析的详细分析

3. 灵敏度分析的介绍

研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

4. 灵敏度分析的灵敏度的应用

 在分析整批间隔进货模型中，经济订货批量Q可用下式计算：式中D为单位时间需求量，K为每次订货的固定费用，h为单位时间内每单位物资的保管费。它们一般都是根据统计资料估算的，与实际情况有所出入，需要进行灵敏度分析。用D1，K1，h1和Q壒分别表示实际的需求量、订货量、保管费和调整后的经济订货批量。ΔD，ΔK,Δh和ΔQ分别代表需求量、订货量、保管费和经济订货批量的相对变化值，即：通过计算后可得代入具体的数值后便可用上式说明 ΔD、ΔK和Δh对订货批量的综合影响程度。

5. 灵敏度分析的灵敏度分析简介

线性规划中灵敏度分析对于线性规划问题：这里max表示求极大值，s.t.表示受约束于，X是目标函数,xj是决策变量。通常假定aij，bi和cj都是已知常数。但是实际上这些参数往往是一些根据估计或预测得到的数据，因而存在误差。同时，在实际过程中，这些参数还会发生不同程度的变化。例如，在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的cj一般同市场条件等因素有关。当市场条件等因素发生变化时，cj也会随之而变化。约束条件中的 aij随工艺条件等因素的变化而改变，bi的值则同企业的能力等因素有关。线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是：当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。

6. 定性分析的灵敏度

在湿法分析中，一个理想的试验应该具有较好的分辨力、较高的选择性和灵敏度。分辨力指反应时出现的现象和生成的产物是否容易辨认。只有少数几种物质能起同样响应的试验称为选择性高的试验，所用的试剂被称为选择性高的试剂。如果只有一种物质能与某种试剂起作用,则该试剂称为专一性试剂，该试验称为专一性试验。但只有在一定条件下，专一性试验才能显示出它的专一性。试验灵敏与否常用下面几种方式表示：①检出限或鉴定极限，指能得出正试验的物质绝对量（质量，常以微克计）；②极限浓度，指物质能显示一个正试验的最低浓度（质量/体积，常以微克/毫升计）；③稀释极限，指稀释到什么程度还能给出一个正试验（常以 1比若干来表示）。各种定性分析操作法所用的试样体积约为：显微分析0.01毫升；点滴试验（用点滴板或滤纸）0.05毫升；微型试管中用1毫升；常量试管中用5毫升。如果某一试验在滤纸上能检出1微克的物质,那么这一试验的鉴定极限为1微克；极限浓度为20微克/毫升；稀释极限为1:50000。

7. 含量分析和灵敏度

质子X射线荧光是一种多元素定量分析技术。包括样品制备、X射线能谱仪的标定、特征X射线谱的测量与数据处理，都要处理适当，方能保证质量。质子激发元素特征X射线，既有多元素射线谱的叠加，也有Kα、Kβ，Lα、Lβ甚至是Mα、Mβ的叠加。对于痕量元素分析，不能不考虑其影响。尤其是各元素射线谱的相互干扰如表11-2-1所示。能量峰相差几个或几十个电子伏。所以，质子X射线荧光分析的数据处理中能量峰的辨认和重叠峰的分解是一个重要内容。解谱方法与γ射线相同，比较有利的是元素的Kα、Kβ或Lα、Lβ峰的位置有固定的能量差。

表11-2-1 几种特征X射线峰的干扰

(一)薄样品元素含量测量
当入射质子穿过样品其能量损失与总能量相比，可以忽略时，该样品称为薄样品。反之为厚样品(厚薄以mg/cm2表示)。例如，生物样品在1mg/cm2以下的为薄样品，大于1mg/cm2的为厚样品。薄样品可以不做样品厚度吸收校正。
1.薄样品中元素含量的绝对测量方法
根据解X射线谱峰中得到某元素j的特征X射线峰计数率Nj(即扣除本底后的谱峰面积)即全谱峰计数率，可用下式计算样品中j元素的绝对含量Ci(g)：

核辐射场与放射性勘查

式中：Aj为j元素的相对原子质量；n0为入射到样品上的质子数，个/cm2，由实验得到；σxj为j元素的特征X射线产生截面(×10-28m2)；Ω为对样品所张的立体角；εj为探测器对j元素特征线的探测效率；T为j元素的特征线在样品中的透射率，对薄样品T=1；N0为阿伏加德罗常数。
2.薄样品中元素含量的相对测量方法
在制备薄样品的同时，制作标准样品。两者衬底相同，元素含量近似，在同样条件下进行测量，则样品中j元素含量为

核辐射场与放射性勘查

式中：C0j和N0j为标准样品的含量和计数。
一般是分析一个元素用一个相同标准元素，比较复杂。为此有人研究提出单标准测定法如下。
在样品中加入一种内标元素，可分析多种待测元素，不用多元素标样，所以这是一种简便的常用方法。

图11-2-3 不同质子能量下的相对灵敏度曲线

质子电量10μC，样厚100μg/cm2，Ω=0.038Sr(球面度)
假定加入内标元素重量为Ws，单位g；参照(11-2-2)式，可得：

核辐射场与放射性勘查

令

核辐射场与放射性勘查

则

核辐射场与放射性勘查

式中：Ns、σxs和εs为内标元素的特征峰计数(峰面积)、截面和探测效率。
由(11-2-6)式可见，Sj可以认为是以内标元素为标准的各种元素的相对灵敏度(系数)。在测量条件不变的情况下，Sj仅与原子序数有关。在一定测量条件下，可以测得各元素的Sj，得到Sj与z的相对灵敏度变化曲线(图11-2-3)，用于计算样品中各元素的含量。
除上述两种方法之外，还有内标法和标定曲线法，与前述的基体校正方法基本相同。

图11-2-4 质子能量与K、L层电离截面

(二)厚样品元素含量的测量
厚样品含量计算比薄样品复杂，主要是质子在样品中损失和样品结构(粒度和表面粗糙)的影响。
质子激发样品的有效深度，是质子在样品中射程的20%～30%。所以，厚样品给出元素含量一般是样品表面的几微米到十几微米厚度的平均含量。
1.质子激发的电离截面
设入射质子粒子数为n。它与密度为ρ的靶元素发生相互作用；入射距离Δx，发生靶原子的电离数为ΔN，则电离截面为

核辐射场与放射性勘查

由于质子随入射深度的能量损失计算比较复杂，许多学者提出多种经验和半经验公式。其中Johansson等提出的半经验公式为

核辐射场与放射性勘查

式中：x=ln(Ep/λ·ui)，Ep为质子能量；λ为质子质量与电子质量之比，取1840；uj为元素j 壳层电子结合能(常数吸收限能量代替)；bn为与原子壳层结合能和 n 有关的系数。计算与实测数据相比符合较好，如图11-2-4所示。由图可见质子能量降低，电离截面迅速下降。即质子在样品深部能量损失，激发效率迅速降低。
2.厚样品元素含量计算

图11-2-5 质子荧光厚样品含量计算原理

假定厚样品中元素分布均匀。入射质子能量为E0，如图11-2-5所示。在样品中由x→x+dx 层时，质子能量损失，E0→E0-dE；经过的路径为R→R+dR，特征X射线在样品中穿过厚度为ξ→ξ+dξ。n0个质子穿过dR 厚样品时，样品中发射j元素的特征X射线数为

核辐射场与放射性勘查

样品对质子的阻止本领为

核辐射场与放射性勘查

若样品中有m种元素，每种元素含量CK，则S(E)应是各种元素对质子阻止本领的加权平均值：

核辐射场与放射性勘查

式中：SK(E)计算比较复杂，不同学者提出多种经验公式进行计算，最后得到下列原样中各种待测元素含量计算公式：

核辐射场与放射性勘查

式中：j=1，2，3，…m；μk为元素k的特征X射线的线吸收系数；kj为j元素荧光分支比。
式(11-2-9)为厚样品中元素相对含量计算公式。该式考虑了质子能量在样品中的损失，电离截面随质子能量变化，以及出射X射线的吸收校正。若考虑基体增强效应的校正，则公式中Nj应换成Nj/(1+ej)，式中ej为j元素的增强因子。
实际上利用(11-2-9)式计算含量是困难的，因为吸收系数和阻止本领中都会有未知数。需要解的这个积分方程组也相当复杂。可以结合实际，取一些特殊情况进行简化。通常用迭代法进行计算。
在(11-2-9)式中设：

核辐射场与放射性勘查

Qj称校正因子，不同元素的校正因子是不同的。
将(11-2-10)代入(11-2-9)式得：

核辐射场与放射性勘查

因为：

核辐射场与放射性勘查

由(11-2-11)、(11-2-12)和(11-2-13)式可得：

核辐射场与放射性勘查

式(11-2-14)和(11-2-10)式是迭代计算的基本公式。
若令Qj=Qj0=1，即认为样品中各种元素的电离截面和吸收都相等。这时含量计算比较简便。
对于液体样品可以制成薄样品，也可以利用非真空直接测量液体样品。
总的来讲，厚样品影响因素较多，其分析灵敏度比薄样品的要降低1～2个数量级。
(三)非真空样品分析
非真空分析是将质子束通过铍窗引到空气中来(见图11-2-2)激发样品，质子在空气中能量损失较大，分析灵敏度降低。有人研究，对生物薄样品，相对灵敏度为(0.01～0.5)×10-6，气体样品为(1～10)×10-6。矿石厚样品分析，相对灵敏度为(1～10)×10-6。绝对灵敏度一般为10-12g。图11-2-6是非真空相对灵敏度曲线。

图11-2-6 非真空相对灵敏度曲线

(四)样品制备及应用
制样分为薄样品和厚样品。薄样品的优点是本底低，灵敏度高，数据处理简便，准确度和精确度比较高。应用中薄样品居多，但制样难度较大。厚样品制备简便、快速，对于元素分布均匀的样品，厚样品相对讲效果更好。
样品的底衬，常用的是铝箔、碳膜、塑料膜或在塑料膜下镀一层高纯铝，塑料类衬底样品种类很多。

图11-2-7 空气污染物PIXE能谱图(Ep=2.5MeV)

薄样品制作方法很多。生物样品制作难度较大，液体样可以滴在衬底上，干后即可(如不均匀则要另外处理)。气溶胶分析是环境研究的重要内容。一般定性分析，只要将衬底置于需要取样的区域，让空气中灰自然沉降；经过一定时间后，在沉积物上加一滴黏合剂，即可对沉积物进行质子荧光分析。定量分析时需要抽取一定量的空气，通过衬有一定面积Nuclepore或Millipore膜的过滤器，使空气中的灰尘和其他污染物沉积于过滤器上，在滤膜上滴上黏合剂，即可进行质子荧光测量。如果样品过厚，也可以溶解后重新制样。
1.实例一，环境污染监测
经常性的环境监测方法必须是快速和费用低的分析方法。PIXE只要几分钟即获得结果，它已广泛用于大气、水体、土壤以及生物体的污染元素监测。图11-2-7为滤纸上空气沉积物的分析结果。加利福尼亚大学以Crocker核实验室为中心建立大气监测网，以该实验室PIXE作自动常规测量装置。

图11-2-8 吉林陨石(样品)PIXE能谱图


图11-2-9 地气采样膜的PIXE特征X射线谱

(K.Kristlansson，L.Malmav.st.，1993)
PIXE可以直接测量植物叶片中吸收的重元素含量，进行环境污染物被植物吸收的监测。
2.实例二，地球科学中应用
从吉林陨石(1976年3月8日)上取样品几百微克，以锆为内标，制成薄样品。用能量1.2MeV，束流100×10-9A的质子束激发，测量PIXE能谱。如图11-2-8所示。
地气找矿(Geogas prospecting)要求使用高灵敏度和高精度的分析方法，是较早应用PIXE的地质找矿方法。图11-2-9是地气采样膜测得的质子X射线荧光特征谱线。由图可见，PIXE不仅是分析灵敏度高，而且一次测量采样收集的所有元素。

8. 含量分析和灵敏度

质子X射线荧光是一种多元素定量分析技术。包括样品制备、X射线能谱仪的标定、特征X射线谱的测量与数据处理，都要处理适当，方能保证质量。质子激发元素特征X射线，既有多元素射线谱的叠加，也有Kα、Kβ，Lα、Lβ甚至是Mα、Mβ的叠加。对于痕量元素分析，不能不考虑其影响。尤其是各元素射线谱的相互干扰如表11-2-1所示。能量峰相差几个或几十个电子伏。所以，质子X射线荧光分析的数据处理中能量峰的辨认和重叠峰的分解是一个重要内容。解谱方法与γ射线相同，比较有利的是元素的Kα、Kβ或Lα、Lβ峰的位置有固定的能量差。
表11-2-1 几种特征X射线峰的干扰


（一）薄样品元素含量测量
当入射质子穿过样品其能量损失与总能量相比，可以忽略时，该样品称为薄样品。反之为厚样品（厚薄以mg/cm2表示）。例如，生物样品在1 mg/cm2以下的为薄样品，大于1 mg/cm2的为厚样品。薄样品可以不做样品厚度吸收校正。
1.薄样品中元素含量的绝对测量方法
根据解X射线谱峰中得到某元素j的特征X射线峰计数率Nj（即扣除本底后的谱峰面积）即全谱峰计数率，可用下式计算样品中j元素的绝对含量Ci（g）：

核辐射场与放射性勘查

式中：Aj为j元素的相对原子质量；n0为入射到样品上的质子数，个/cm2，由实验得到；σxj为j元素的特征X射线产生截面（×10-28m2）；Ω为对样品所张的立体角；εj为探测器对j元素特征线的探测效率；T为j元素的特征线在样品中的透射率，对薄样品T=1；N0为阿伏加德罗常数。
2.薄样品中元素含量的相对测量方法
在制备薄样品的同时，制作标准样品。两者衬底相同，元素含量近似，在同样条件下进行测量，则样品中j元素含量为

核辐射场与放射性勘查

式中：C0j和N0j为标准样品的含量和计数。
一般是分析一个元素用一个相同标准元素，比较复杂。为此有人研究提出单标准测定法如下。
在样品中加入一种内标元素，可分析多种待测元素，不用多元素标样，所以这是一种简便的常用方法。

图11-2-3 不同质子能量下的相对灵敏度曲线

假定加入内标元素重量为Ws，单位g；参照（11-2-2）式，可得：

核辐射场与放射性勘查

令

核辐射场与放射性勘查

则

核辐射场与放射性勘查

式中：Ns、σxs和εs为内标元素的特征峰计数（峰面积）、截面和探测效率。
由（11-2-6）式可见，Sj可以认为是以内标元素为标准的各种元素的相对灵敏度（系数）。在测量条件不变的情况下，Sj仅与原子序数有关。在一定测量条件下，可以测得各元素的Sj，得到Sj与z的相对灵敏度变化曲线（图11-2-3），用于计算样品中各元素的含量。
除上述两种方法之外，还有内标法和标定曲线法，与前述的基体校正方法基本相同。

图11-2-4 质子能量与K、L层电离截面

（二）厚样品元素含量的测量
厚样品含量计算比薄样品复杂，主要是质子在样品中损失和样品结构（粒度和表面粗糙）的影响。
质子激发样品的有效深度，是质子在样品中射程的20%～30%。所以，厚样品给出元素含量一般是样品表面的几微米到十几微米厚度的平均含量。
1.质子激发的电离截面
设入射质子粒子数为n。它与密度为ρ的靶元素发生相互作用；入射距离Δx，发生靶原子的电离数为ΔN，则电离截面为

核辐射场与放射性勘查

由于质子随入射深度的能量损失计算比较复杂，许多学者提出多种经验和半经验公式。其中Johansson等提出的半经验公式为

核辐射场与放射性勘查

式中：x=ln（Ep/λ·ui），Ep为质子能量；λ为质子质量与电子质量之比，取1840；uj为元素j壳层电子结合能（常数吸收限能量代替）；bn为与原子壳层结合能和n有关的系数。计算与实测数据相比符合较好，如图11-2-4所示。由图可见质子能量降低，电离截面迅速下降。即质子在样品深部能量损失，激发效率迅速降低。
2.厚样品元素含量计算
假定厚样品中元素分布均匀。入射质子能量为E0，如图11-2-5所示。在样品中由x→x+dx层时，质子能量损失，E0→E0-dE；经过的路径为R→R+dR，特征X射线在样品中穿过厚度为ξ→ξ+dξ。n0个质子穿过dR厚样品时，样品中发射j元素的特征X射线数为

核辐射场与放射性勘查

样品对质子的阻止本领为

核辐射场与放射性勘查

若样品中有m种元素，每种元素含量CK，则S（E）应是各种元素对质子阻止本领的加权平均值：

图11-2-5 质子荧光厚样品含量计算原理


核辐射场与放射性勘查

式中：SK（E）计算比较复杂，不同学者提出多种经验公式进行计算，最后得到下列原样中各种待测元素含量计算公式：

核辐射场与放射性勘查

式中：j=1，2，3，…m；μk为元素k的特征X射线的线吸收系数；kj为j元素荧光分支比。
式（11-2-9）为厚样品中元素相对含量计算公式。该式考虑了质子能量在样品中的损失，电离截面随质子能量变化，以及出射X射线的吸收校正。若考虑基体增强效应的校正，则公式中Nj应换成Nj/（1+ej），式中ej为j元素的增强因子。
实际上利用（11-2-9）式计算含量是困难的，因为吸收系数和阻止本领中都会有未知数。需要解的这个积分方程组也相当复杂。可以结合实际，取一些特殊情况进行简化。通常用迭代法进行计算。
在（11-2-9）式中设：

核辐射场与放射性勘查

Qj称校正因子，不同元素的校正因子是不同的。
将（11-2-10）代入（11-2-9）式得：

核辐射场与放射性勘查

因为：

核辐射场与放射性勘查

由（11-2-11）、（11-2-12）和（11-2-13）式可得：

核辐射场与放射性勘查

式（11-2-14）和（11-2-10）式是迭代计算的基本公式。
若令Qj=Qj0=1，即认为样品中各种元素的电离截面和吸收都相等。这时含量计算比较简便。
对于液体样品可以制成薄样品，也可以利用非真空直接测量液体样品。
总的来讲，厚样品影响因素较多，其分析灵敏度比薄样品的要降低1～2个数量级。
（三）非真空样品分析
非真空分析是将质子束通过铍窗引到空气中来（见图11-2-2）激发样品，质子在空气中能量损失较大，分析灵敏度降低。有人研究，对生物薄样品，相对灵敏度为（0.01～0.5）×10-6，气体样品为（1～10）×10-6。矿石厚样品分析，相对灵敏度为（1～10）×10-6。绝对灵敏度一般为10-12 g。图11-2-6是非真空相对灵敏度曲线。
（四）样品制备及应用
制样分为薄样品和厚样品。薄样品的优点是本底低，灵敏度高，数据处理简便，准确度和精确度比较高。应用中薄样品居多，但制样难度较大。厚样品制备简便、快速，对于元素分布均匀的样品，厚样品相对讲效果更好。
样品的底衬，常用的是铝箔、碳膜、塑料膜或在塑料膜下镀一层高纯铝，塑料类衬底样品种类很多。
薄样品制作方法很多。生物样品制作难度较大，液体样可以滴在衬底上，干后即可（如不均匀则要另外处理）。气溶胶分析是环境研究的重要内容。一般定性分析，只要将衬底置于需要取样的区域，让空气中灰自然沉降；经过一定时间后，在沉积物上加一滴黏合剂，即可对沉积物进行质子荧光分析。定量分析时需要抽取一定量的空气通过衬有一定面积 Nuclepore或Millipore膜的过滤器，使空气中的灰尘和其他污染物沉积于过滤器上，在滤膜上滴上黏合剂，即可进行质子荧光测量。如果样品过厚，也可以溶解后重新制样。

图11-2-6 非真空相对灵敏度曲线


图11-2-7 空气污染物PIXE能谱图（Ep=2.5MeV）

1.实例一，环境污染监测
经常性的环境监测方法必须是快速和费用低的分析方法。PIXE只要几分钟即获得结果，它已广泛用于大气、水体、土壤以及生物体的污染元素监测。图11-2-7为滤纸上空气沉积物的分析结果。加利福尼亚大学以Crocker核实验室为中心建立大气监测网，以该实验室PIXE作自动常规测量装置。

图11-2-8 吉林陨石（样品）PIXE能谱图


图11-2-9 地气采样膜的PIXE特征X射线谱

PIXE可以直接测量植物叶片中吸收的重元素含量，进行环境污染物被植物吸收的监测。
2.实例二，地球科学中应用
从吉林陨石（1976年3月8日）上取样品几百微克，以锆为内标，制成薄样品。用能量1.2MeV，束流100×10-9A的质子束激发，测量PIXE能谱。如图11-2-8所示。
地气找矿（Geogas prospecting）要求使用高灵敏度和高精度的分析方法，是较早应用PIXE的地质找矿方法。图11-2-9是地气采样膜测得的质子X射线荧光特征谱线。由图可见，PIXE不仅是分析灵敏度高，而且一次测量采样收集的所有元素。