在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB垂直侧面BB1C1C,已知BC=1,角BCC1=pai/3

1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB垂直侧面BB1C1C,已知BC=1,角BCC1=pai/3

Ⅰ）
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1，∠BCC1=π /3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
（Ⅱ）
   取CC1中点为E,BB1中点F, 连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
（Ⅲ）
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
  即A1B1,AE分别在两个半平面内，均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
   二面角A-EB1-A1的平面角的大小
 ∵AB=√ 2，EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2

2. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB垂直侧面BB1C1C,已知BC=1,角BCC1=pai/3

1、
A1M⊥平面ABC，BC∈平面ABC，A1M⊥BC，M是BC的中点，△ABC是等腰直角三角形，AM⊥BC，AM∩A1M=M，∴BC⊥平面AA1M√
2、
作MN⊥AB，垂足N，连结A1N，根据三垂线定理，A1N⊥AB，<A1NM是二面角A1-AB-C的平面角，AC=AB=a,BC=√2a,AM=BC/2=√2a/2,
MN=√2/2*(√2a/2)=a/2,A1M是棱柱的高，也是三棱锥C-A1B1C1的高，S△A1B1C1=A1C1*A1B1/2=a*a/2=a^2/2,V三棱锥C-A1B1C1=
a^3√3/12=S△A1B1C1*A1M/3,A1M=√3/2,tan<MNA1=A1M/MN=√3,
<MNA1=60°，侧面ABB1A1与底面ABC所成锐二面角的大小为
60度。

3. 三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,角BAA1=60°若平面ABC垂直平面AA1B1B，AB=CB,

解：
取A1B1为x轴，A1B1中点为原点0,0C1为Z轴，过点O平行于AA1的直线为y轴，设AB=2a，根据已知条件可知
AB=AC=BC=2a  因为角BAA1=60°所以y轴过点B，则C1(0,0,√3a),B1(-a,0,0),C(a,-√3a,√3a),A1(a,0,0)
向量A1C=（0，-√3a，√3a），向量C1C=(a,-√3a,√3a),向量C1B1=（-a,0,-√3a),求出平面BB1C1C的法向量
n=(√3,0,-1),向量A1C=（0，-√3a，√3a）与向量n的夹角余弦=向量A1C=√2/4,即直线A1C与平面BB1C1C所成的角正弦值是√2/4

4. 如图，在三棱柱△ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=π /3

（Ⅰ）
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1，∠BCC1=π /3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
（Ⅱ）
   取CC1中点为E,BB1中点F, 连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
（Ⅲ）
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
  即A1B1,AE分别在两个半平面内，均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
   二面角A-EB1-A1的平面角的大小
 ∵AB=√ 2，EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2
 
第三问的方法，本人从来没用过，但没有问题的

5. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O,且AO垂直平面BB1C1

1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，
∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，
∵AO⊥平面BB1C1C，
∴AO⊥B1C，
∵AO∩BC1=O，
∴B1C⊥平面ABO，
∵AB⊂平面ABO，
∴B1C⊥AB；

6. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1垂直于BC1，AB=CC1=1，BC=2

连接A1B,
因为AB=CC1，三棱柱为直三棱柱，所以AA1垂直于A1C1（直棱柱侧棱垂直于底面）
且ABB1A1为正方形，则A1B垂直于AB1（正方形对角线），
又因为AB1垂直于BC1，A1B垂直于AB1，A1B交BC1于B点，所以AB1垂直于平面A1BC1（第一次线面垂直），则AB1垂直于A1C1，
由AB1垂直于A1C1（第一次线面垂直的结论），AA1垂直于A1C1，AB1交AA1于A点，得A1C1垂直于平面ABB1A1（第二次线面垂直），
所以AC1垂直于AB

7. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角BAC=90°,AB=AC=AA1

由（1）的结论可知平面AB1D⊥平面A1BC1
∵D在直线B1C1上
∴C1也在平面AB1D上
∴平面AB1D也就是平面AB1C1
假设AB1与BA1这两条线相交于O，则平面AB1C1与平面A1BC1的相交线为OC1
∵平面AB1D⊥平面A1BC1
∴AD在平面A1BC1上的投影也是在直线OC1上。

这样，第二问就可以简化成如下图的平面几何

AD与平面A1BC1所成的角就是上图标注的那个角。
由于AB=AC=AA1，因此三角形AB1C1是等边三角形，O和D分别是AB1和B1C1的中点。
其它的不要再详细说下去了吧？最后答案是60度。

8. 三棱柱ABC-A1B1C1中，BC垂直平面AA1C1C,AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=派／3，D为AA1的中点。

1.）  只需证明A1C垂直于平面ABC内的两条相交直线i即可。事实上。BC垂直于侧面AA1C1C，所以BC垂直于AC；另一方面，在三角形ACA1中，AA1=2，AC=1，角CAA1=60度，由余弦定理可知A1C=根号3，满足勾股定理，所以角A1CA是直角，即A1C垂直于AC。证完。
2.）  我们常常看到，一道大题，往往它的头一问为第二问打基础。
既然A1C垂直于底面ABC，所以我们先求出整个三棱柱的体积V。
底面AC=BC=1，BC垂直于AC，三角形ACB就是等腰直角三角形。面积为½。又，A1C=√3，所以三棱柱的体积等于底面积乘高，V=√3／2.
现在我们把侧面ADC1C当做四棱锥B_ADC1C的底面来分析。那么它的高就是BC=1，平行四边形AA1C1C的面积：为底AC=1，乘以高A1C1=√3，等于√3。由于D为中点，则易知ADC1C的面积等于√3的3/4，即3√3／4。所以，V1 等于三分之一的底面积乘高，等于√3／4.
V2=V-V1=√3／2－√3／4＝√3／2.所以V1：V2=1：1。