圆周率的值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的，π在数学计算时取什么值？

1. 圆周率的值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的，π在数学计算时取什么值？

题主所说的问题其实是表面现象。
空间的曲率半径决定空间的曲率圆，无论在什么空间中，都是圆的周长与直径的比值，因此圆周率在不同的几何中数值是恒定的。
所谓的非欧几何与欧几里德几何的区别，就在平行公设的不同。平行线公理与三角形的三内角之和等于圆周率是等价命题，因此三种几何的平行公设分别如下：
欧几里德几何的平行公设：三角形三内角之和等于180度。
罗巴切夫斯基几何的平行公设：三角形三内角之和小于180度。
黎曼几何的平行公设：三角形的三内角之和大于180度。

按照罗巴切夫斯基的平行公设，空间形式是欧几里德空间的双曲面；按照黎曼几何的平行公设，空间形式是欧几里德空间的椭圆面。
因此，罗巴切夫斯基几何与黎曼几何中不存在欧几里德几何中的直线，罗巴切夫斯基几何与黎曼几何中的直线都是欧几里德几何中的射影曲线，由三条射影曲线构成的三角形的三内角之和自然不等于180度。
但是，在三种几何学中，曲率半径的射影形式相同，都为欧几里德空间中的直线。曲率半径决定的曲率圆也具有相同的射影形式，都为欧几里德空间的平面圆。
由此可以得出：罗巴切夫斯基几何与黎曼几何，最终都是以欧几里德几何为基础的；如果欧几里德几何中的圆不成立，那么非欧几何中的圆也不成立。因此，圆周率是适用三种几何学的共同常数，也是三种几何学在射影下统一的基础。

无论是爱因斯坦还是黎曼，都不可能凭空捏造出不同于欧几里德圆的圆周率来；无论他们如何不喜欢欧几里德几何，也不能不以欧几里德几何为基础建立自己的曲面几何。
非欧几何的尴尬就在于，无法消除曲率半径这一欧几里德几何中的直线，因此也无法消除曲率圆与欧几里德圆的共同射影形式。因此，当面对无穷大与无穷小时，非欧几何立刻被打回原形，都统一在了欧几里德空间里。
爱因斯坦也一样，当引力场方程在充分小的空间展开时，也被打回了原形，最终不能不回到牛顿的万有引力定律去。当空间为无穷大时，引力场方程也一样，变成了牛顿的万有引力定律。

所谓的广义相对论，不过是黎曼曲面空间里的引力神话罢了！

2. 曲率圆的定义是什么？

对于曲线上的任意一点P，做与P点相切的圆，使得相切圆与曲线最为密切——与曲线相切的那点，圆上有最多的点到曲线距离最短。这个圆就做曲线的密切圆，该密切圆又叫做曲线在该点的曲率圆。
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

3. 曲率圆的定义是什么？

曲率圆，又称密切圆。在曲线上一点M的法线上，在凹的一侧取一点D ，使DM等于该点处的曲率半径，以D为圆心，DM为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆。在点M附近，曲率圆弧与曲线弧密切程度非常好，所以曲率圆又叫密切圆。


注意事项：
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

4. 圆的曲率是什么呢？

在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使以O为圆心，R为半径作圆，这个圆叫做曲线在点处的曲率圆。曲率半径愈小，表示曲线弯曲愈甚。

简单理解就是，曲线上某点做切线，曲线偏离切线的程度越大，弯曲程度就越大，即曲率越大。数字越大越弯。
曲面屏的2000r比4000r的弯。
2000r的意思是把多个屏幕拼接起一个圆，这个圆的半径是2000mm，即2m。
半径2m当然比半径4m要弯。



曲率的直观感受
方便引入曲率的概念，先从两个特殊的例子来直观上感受曲率。
直线
对直线来说，没有弯曲的地方，显然曲率到处都是0。
圆
对圆来说，任何地方的曲率都是相同的，所以圆的曲率是个常数。直观上来看，半径大的圆比半径小的圆更"平直"一些，那么大圆的曲率相比来说就要小一些。
在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使以O为圆心，R为半径作圆，这个圆叫做曲线在点处的曲率圆。曲率半径愈小，表示曲线弯曲愈甚。

5. 曲率圆的定义是什么

曲率圆定义：对于曲线上的任意一点P，做与P点相切的圆，使得相切圆与曲线最为密切——与曲线相切的那点，圆上有最多的点到曲线距离最短。这个圆就做曲线的密切圆，该密切圆又叫做曲线在该点的曲率圆。此外，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

基本信息
曲率圆，又称密切圆。在曲线上一点M的法线上，在凹的一侧取一点D，使DM等于该点处的曲率半径，以D为圆心，DM为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆。在点M附近，曲率圆弧与曲线弧密切程度非常好，所以曲率圆又叫密切圆。

相关内容
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。

按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

6. 曲率圆的定义是什么

 　　曲率圆定义：对于曲线上的任意一点P，做与P点相切的圆，使得相切圆与曲线最为密切——与曲线相切的那点，圆上有最多的点到曲线距离最短。这个圆就做曲线的密切圆，该密切圆又叫做曲线在该点的曲率圆。此外，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。
    
  　　 基本信息 
  　　曲率圆，又称密切圆。在曲线上一点M的法线上，在凹的一侧取一点D，使DM等于该点处的曲率半径，以D为圆心，DM为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆。在点M附近，曲率圆弧与曲线弧密切程度非常好，所以曲率圆又叫密切圆。
    
  　　 相关内容 
  　　在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
    
  　　按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

7. 曲率圆的定义是什么？

对于曲线上的任意一点P，做与P点相切的圆，使得相切圆与曲线最为密切——与曲线相切的那点，圆上有最多的点到曲线距离最短。这个圆就做曲线的密切圆，该密切圆又叫做曲线在该点的曲率圆。
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

在动力学中：
一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

8. 曲率圆怎么求解？

曲率圆方程的表达式：（x-α）^2+(x-β）^2=R^2。
曲线上点M处的曲率的倒数，称作曲线在这点处的曲率半径，记作p ,则在点M处曲线的法线的某一侧上取一点D，使|DM|=p，并以D为圆心，以p为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率中心。

意义
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。