自然常数e有什么用

1. 自然常数e有什么用

自然常数e数学意义
　　超越数主要只有自然常数和圆周率。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。

　　自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。

　　自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是函数y=f(x)=(1+1/x)x，当x趋向无穷大时y的极限。

　　同时，它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。同时说明，0!也等于1。

　　自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数y=f(x)=ax的导数为f'(x)=ax*ln(a)。函数y=f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=1/x*ln(10)。

　　自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有a/ln(a)个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，则个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。

　　此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求ab的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以ab的最大值约为9474061716781832.652。

　　e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。

　　（1）数列或函数f(n)=(1+1/n)^n即(1+1/n)的n次方的极限值

　　数列：1+1，（1+0.5）的平方，（1+0.33…）的立方，1.25^4，1.2^5，…

　　函数：实际上，这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大。

　　（1=）sum(1/n!)，n取0至无穷大自然数。即1+1/1！+1/2！+1/3！+…

　　（2）几个初级的相关公式：e^ix=cosx+i(sinx)，e^x=coshx+sinhx===sum((1/n!)x^n)，由此可以结合三角函数或双曲三角函数的简单性质推算出相对复杂的公式，如和角差角公式，等等，希望对朋友们学习和灵活应用它们有些帮助。

　　（3）用Windows自带的计算器计算：菜单“查看／科学型“，再依次点击 1 hyp sin + ( 1 hyp cos 1 ) 或用键盘输入1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以从这里用ctrl+C复制，再切换到计算器，按ctrl+V（菜单“编辑/粘贴”）， 得到它的 32 位数值：

　　e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6（第31位小数四舍五入为7）

2. e 为什么叫做自然常数

e,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重要的常数之一.它的数值约是（小数点后100位）：e≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示.1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准.

3. 为什么e是自然常数?

解题过程如下：
(x→∞) lim(1+1/x）^x
=lime^xln(1+1/x) 
因为x→∞，所以1\x→0
用等价无穷小代换ln(1+1/x) =1\x
当(x→∞) lim(1+1/x）^x
=lime^xln(1+1/x)
=lime^x*1/x
=e。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

4. 自然常数e有什么用

自然常数e数学意义
  　　超越数主要只有自然常数和圆周率.自然常数的知名度比圆周率低很多,原因是圆周率更容易在实际生活中遇到,而自然常数在日常生活中不常用.
  　　自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底.为什么会这样,主要取决于它的来历.
  　　自然常数的来法比圆周率简单多了.它就是函数y=f(x)=(1+1/x)x,当x趋向无穷大时y的极限.
  　　同时,它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+…….同时说明,0!也等于1.
  　　自然常数经常在公式中做对数的底.比如,对指数函数和对数函数求导时,就要使用自然常数.函数y=f(x)=ax的导数为f'(x)=ax*ln(a).函数y=f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=1/x*ln(10).
  　　自然常数也和质数分布有关.有某个自然数a,则比它小的质数就大约有a/ln(a)个.在a较小时,结果不太正确.但是随着a的增大,则个定理会越来越精确.这个定理叫素数定理,由高斯发现.
  　　此外自然常数还有别的用处.比如解题.请把100分成若干份,使每份的乘积尽可能大.把这个题意分析一下,就是求两个数a和b,使ab=100,求ab的最大值.（说明,a可以为任意有理数,b必须为整数.）此时,便要用到自然常数.这需要使a尽量接近e.则b应为100/e≈36.788份,但由于份数要为整数,所以取近似值37份.这样,每份为100/37,所以ab的最大值约为9474061716781832.652.
  　　e是极为常用的超越数之一,它通常用作自然对数的底数.
  　　（1）数列或函数f(n)=(1+1/n)^n即(1+1/n)的n次方的极限值
  　　数列：1+1,（1+0.5）的平方,（1+0.33…）的立方,1.25^4,1.2^5,…
  　　函数：实际上,这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大.
  　　（1=）sum(1/n!),n取0至无穷大自然数.即1+1/1!+1/2!+1/3!+…
  　　（2）几个初级的相关公式：e^ix=cosx+i(sinx),e^x=coshx+sinhx===sum((1/n!)x^n),由此可以结合三角函数或双曲三角函数的简单性质推算出相对复杂的公式,如和角差角公式,等等,希望对朋友们学习和灵活应用它们有些帮助.
  　　（3）用Windows自带的计算器计算：菜单“查看／科学型“,再依次点击 1 hyp sin + ( 1 hyp cos 1 ) 或用键盘输入1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以从这里用ctrl+C复制,再切换到计算器,按ctrl+V（菜单“编辑/粘贴”）, 得到它的 32 位数值：
  　　e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6（第31位小数四舍五入为7）

5. 什么是自然常数e呢？

6. 自然常数e是怎么定义的

lim(1+1/x)^x
x→∞

7. 自然常数e是怎么得来的

它的来源涉及到大学高等数学里的极限问题，中学还没学到

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
它的其中一个定义是 
                                                                                                                                                        
                                                    


，其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。
第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

8. 自然常数e是怎么来的，谁给讲讲

神奇的自然对数底e
让我们先来看一个约公元前1700年巴比伦人提出的利息问题：以20%的年息贷钱给人，何时连本带利翻一番？问题相当于求解指数方程
$1.2^x=2$
这类复利问题我们今天每一个储蓄的人都还会遇到。如果设本金为1，则历年本利和就是这样一个等比数列：
1.2，1.22，1.23，1.24，1.25，1.27，…。
上述等比数列乃是一年复利一次的情况下得到的历年本利和，如果每半年复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{2})^2=1.21$ 
比一年复利一次多了点；如果一个季度复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{4})^4=1.21550625$ 
比半年复利一次又多了点；如果每月复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{12})^12=1.21939108490523$ 
比一季度复利一次又多了点；如果每天复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{365})^365=1.22133585825177$ 
比每月复利一次又多了点。如果每时、每分、每秒复利，第一年的本利和分别为
1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574。
从上面的计算可以看出，年率一定，分期复利，期数增加，本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加，本利和并不会无限制地增大，而是有一个“封顶”，永远超过不了。这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和，用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限。稍懂点微积分就能算出这个极限等于
$e^0.2=1.2214027581$
它的底数是
$e=lim_{n->oo}(1+1/n)^n=2.7182818284...$

它就是自然对数的底。18世纪，瑞士大数学家欧拉首次用字母e来表示它，一直沿用至今。
我们不知道巴比伦人是否考虑过连续复利的问题，但肯定的是，他们并不知道e这个数。直到1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利（Jacob  Bernoulli, 1654～1705）在研究连续复利时，才意识到问题须以$(1+1/n)^n$当$n->00$时的极限来解决，但伯努利只估计出这个极限在2和3之间。欧拉则利用无穷级数
$1+1/1+1/(1*2)+1/(1*2*3))+1/(1*2*3*4)+...$
首次算出e的小数点后18位的近似值，还利用连分数证明了e是个无理数。1873年，法国著名数学家埃尔米特（C. Hermite, 1822～1901）证明了e是一个超越数。
除了复利问题，考古学也和e攀上了亲戚关系。考古学上常用的鉴定年代方法是1948年美国芝加哥大学的Willard Libby设计出来的碳-14定年法。放射性碳-14因空气中的氮原子受宇宙线轰击而形成，但它不稳定，会丢掉两个中子，衰变成碳-12。碳-14不断产生又不断衰变，结果，它在空气中的含量近似保持不变，就像一个水池，同时以同样的速度进水和出水，池内含水量不变一样。活着的动植物通过呼吸，体内自然也含有碳-14；一禽一兽、一草一木，每单位重量所含碳-14总是相同的。但是，一旦动物死亡，呼吸停止，不再从空气中吸入碳-14，而原来留在体内的碳-14则继续衰变，经过5730年（ 即半衰期），碳-14的量剩下原来的一半，经过11460年，剩下原来的四分之一。这里，经过的时间和剩余的质量之间的关系是$M(t)=M_0 e^{-lambda(t-t_0)}$，其中衰变常数$lambda~~1.2*10^-4 $。如果测出考古发掘物（如兽骨、木炭、贝壳等）的碳-14含量M(t)，利用上述公式即可断定其存在的年代。
与上述炭-14定年法类似，鉴定一幅画的真伪，也得和e打交道。因为任何一幅画的颜料中都含有铅-210和镭-226，因此利用两者的放射性，可以大致判别画的年代，从而让赝品“原形毕露”。
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