自然常数e的来历
2024-05-11 14:07
1. 自然常数e的来历
2. 自然常数e是怎么得来的
它的来源涉及到大学高等数学里的极限问题，中学还没学到
e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
它的其中一个定义是
，其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。
第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。
3. 自然常数e，到底怎么来的？
欧拉公式被称为真正的宇宙第一公式，
欧拉公式的推导，是将 三角函数 与 复指数函数 巧妙地关联了起来。其中， e 为自然常数， i 为虚数， x 则是以弧度为单位的参数（变量）。
自然常数e 是一个奇妙的数字，它是一个数学中的 无理常数 ，约等于2.718281828459。
我们是否想过，为啥一个无理数却被人们称之为“ 自然常数 ”？
要了解e 的由来，一个最直观的方法是引入一个经济学名称“ 复利 (Compound Interest)”。
复利率法 ，是一种计算利息的方法。只要计算利息的周期越密，财富增长越快，而随着年期越长，复利效应亦会越为明显。
在引入“ 复利模型 ”之前，先试着看看更基本的 “指数增长模型”。
假设你有1元钱存在银行里，此时发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（夸张一下，为了方便计算）。如果银行一年付一次利息，自然在一年后你可以拿到1元的本金（蓝色圆）和1元的利息（绿色圆），总共两元的余额。现在银行的年利率不变，每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候，你就能够提前从银行拿到0.5元的利息了。机智的你会马上把这0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也将在下一结算周期产生利息(红色圆)，专业术语叫“ 复利 ”，那么年底的存款余额将等于2.25元。我们可以换个角度这样看：即，每个结算（增长）周期为半年，每半年的利率是50%（或者说100%/2），一年结算两次利息，且第一次结算完后，立马将利息存入。此时我们的计算公式和结果如下：
年利率不变每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年结算一次利息类似：即，每个结算周期为四个月，每四个月的利率是33.33%（或者说100%/3），一年结算三次利息，且前两次结算完后，都立马将所有利息存入。
最后，发现年利率虽然没有变，但随着每年利息交付次数的增加，年底从银行拿到的钱居然也在增加。
那么是不是会一直增大到无穷大呢？
现在假设，银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息，存款人天天呆在银行不走，拿到利息就往银行里存。这样，所得利息即所谓“连续复利”。
于是我们进行一系列的迭代运算，我们将看到以下结果：
假设本金为1块钱的前提下，只要在年利率保持100%不变的情况下，不断地提高利息的结算次数，余额就将会逼近e =2.718281845…
于是得出了高等数学微积分里计算e 的一个重要极限了：
说明了，就算银行的年利率是100%，再怎么求银行给你“复利”，年底也不可能得到超过本金e 倍的余额。
在自然界中，大多数事物都处在一种无意识的连续增长的状态中，对于一种连续增长的事物，如果它的单位时间的增长率为100%，那么经过一单位时间后，它将变成原来的e倍。
4. e为什么叫自然常数
e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。 以e为底的对数称为自然对数（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数（Natural number）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。 以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。 例如：英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。而海里的长度则接近自然，海里是根据地球周长计算的，是1角分的长度，变化就极小。 无处不在的e，比如利息中的e：1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e， 其他底数都是发明出来方便人使用，只有e为底数是被发现的，数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式。 把e冠以自然底数、自然常数之名，把e为底数的对数称为自然对数，是数学家们用自己的方式对e所进行的美学评价。 以上是对e的简略说明。
5. 数学当中自然常数e是么由来的啊？
自然常数e就是lim(1+1/x)^x,x->+∞或lim(1+z)^(1/z),z->0,其值约为2.71828,，是一个无限不循环数。 尤拉的自然对数底公式 （大约等于2.71828的自然对数的底——e） 尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。 尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。 尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。” 这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！ 相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数。 而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。
6. e 为什么叫做自然常数
e,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重要的常数之一.它的数值约是（小数点后100位）：e≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示.1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准.
7. 自然常数e是怎么来的，谁给讲讲
神奇的自然对数底e
让我们先来看一个约公元前1700年巴比伦人提出的利息问题：以20%的年息贷钱给人，何时连本带利翻一番？问题相当于求解指数方程
$1.2^x=2$
这类复利问题我们今天每一个储蓄的人都还会遇到。如果设本金为1，则历年本利和就是这样一个等比数列：
1.2，1.22，1.23，1.24，1.25，1.27，…。
上述等比数列乃是一年复利一次的情况下得到的历年本利和，如果每半年复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{2})^2=1.21$
比一年复利一次多了点；如果一个季度复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{4})^4=1.21550625$
比半年复利一次又多了点；如果每月复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{12})^12=1.21939108490523$
比一季度复利一次又多了点；如果每天复利一次，那么第一年的本利和为
$(1+frac{0.2}{365})^365=1.22133585825177$
比每月复利一次又多了点。如果每时、每分、每秒复利，第一年的本利和分别为
1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574。
从上面的计算可以看出，年率一定，分期复利，期数增加，本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加，本利和并不会无限制地增大，而是有一个“封顶”，永远超过不了。这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和，用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限。稍懂点微积分就能算出这个极限等于
$e^0.2=1.2214027581$
它的底数是
$e=lim_{n->oo}(1+1/n)^n=2.7182818284...$
它就是自然对数的底。18世纪，瑞士大数学家欧拉首次用字母e来表示它，一直沿用至今。
我们不知道巴比伦人是否考虑过连续复利的问题，但肯定的是，他们并不知道e这个数。直到1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705）在研究连续复利时，才意识到问题须以$(1+1/n)^n$当$n->00$时的极限来解决，但伯努利只估计出这个极限在2和3之间。欧拉则利用无穷级数
$1+1/1+1/(1*2)+1/(1*2*3))+1/(1*2*3*4)+...$
首次算出e的小数点后18位的近似值，还利用连分数证明了e是个无理数。1873年，法国著名数学家埃尔米特（C. Hermite, 1822～1901）证明了e是一个超越数。
除了复利问题，考古学也和e攀上了亲戚关系。考古学上常用的鉴定年代方法是1948年美国芝加哥大学的Willard Libby设计出来的碳-14定年法。放射性碳-14因空气中的氮原子受宇宙线轰击而形成，但它不稳定，会丢掉两个中子，衰变成碳-12。碳-14不断产生又不断衰变，结果，它在空气中的含量近似保持不变，就像一个水池，同时以同样的速度进水和出水，池内含水量不变一样。活着的动植物通过呼吸，体内自然也含有碳-14；一禽一兽、一草一木，每单位重量所含碳-14总是相同的。但是，一旦动物死亡，呼吸停止，不再从空气中吸入碳-14，而原来留在体内的碳-14则继续衰变，经过5730年（ 即半衰期），碳-14的量剩下原来的一半，经过11460年，剩下原来的四分之一。这里，经过的时间和剩余的质量之间的关系是$M(t)=M_0 e^{-lambda(t-t_0)}$，其中衰变常数$lambda~~1.2*10^-4 $。如果测出考古发掘物（如兽骨、木炭、贝壳等）的碳-14含量M(t)，利用上述公式即可断定其存在的年代。
与上述炭-14定年法类似，鉴定一幅画的真伪，也得和e打交道。因为任何一幅画的颜料中都含有铅-210和镭-226，因此利用两者的放射性，可以大致判别画的年代，从而让赝品“原形毕露”。
这是粘别人的，希望能帮助你
8. 为什么e是自然常数?
解题过程如下： (x→∞) lim(1+1/x）^x =lime^xln(1+1/x) 因为x→∞，所以1\x→0 用等价无穷小代换ln(1+1/x) =1\x 当(x→∞) lim(1+1/x）^x =lime^xln(1+1/x) =lime^x*1/x =e。 用极限思想解决问题的一般步骤可概括为： 对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。 极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
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