1. 正方体ABCD=A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点,则AE,BF所成的角的余弦值是
解:连接BD、DF,取BD中点G,连接FG。
设正方体棱长为1,则
AE=DF=BF=(根号5)/2,BG=DG=(根号2)/2
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中
∵AE∥DF
∴AE,BF所成的角即为DF,BF所成的角,∠DFB
又∵DF=BF,DG=BG,GF=GF
∴△DGF全等△BGF
∠DGF=∠BGF=90°,∠DFG=∠BFG
∴cos(AE,BF)=cos∠DFB
=cos2∠BFG
=1-2(sin∠BFG)^2
=1/5
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,求AE,BF所成角的余弦值。【过程】
做BD中点H,连接FH,在直角三角形BFH中求出角BFH的余弦值和正弦值,分别为sqrt(3)/sqrt(5)和sqrt(2)/sqrt(5),然后用二倍角公式求出角BFD的余弦值为1/5也就是0.2
3. 正方体ABCD=A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点,则AE,BF所成的角的余弦值是
解:连接BD、DF,取BD中点G,连接FG。
设正方体棱长为1,则
AE=DF=BF=(根号5)/2,BG=DG=(根号2)/2
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中
∵AE∥DF
∴AE,BF所成的角即为DF,BF所成的角,∠DFB
又∵DF=BF,DG=BG,GF=GF
∴△DGF全等△BGF
∠DGF=∠BGF=90°,∠DFG=∠BFG
∴cos(AE,BF)=cos∠DFB
=cos2∠BFG
=1-2(sin∠BFG)^2
=1/5
4. 正方体ABCD,A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F分别是BB 1 、CC 1 的中点,则AE、BF所成的角的余弦值是( )
取DD 1 的中点G,由GA ∥ BF 且GA=BF 可得∠GAD为AE、BF所成的角,设正方体棱长为1,△GAD中,利用勾股定理可得AE=AG= 1+ 1 4 = 5 2 . 又EG= 2 ,由余弦定理可得 2= 5 4 + 5 4 -2× 5 2 × 5 2 cos∠EAG,∴cos∠EAG= 1 5 ,故选 C.
5. 、正方体ABCD,A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CC1的中点,则AE、BF所成的角的余弦值是() ...
C 分析:取DD 1 的中点G,∠GAD为AE、BF所成的角,在△GAD中,用勾股定理求得三边长,余弦定理求得cos∠EAG 的值.取DD 1 的中点G,由GA∥BF 且GA="BF" 可得∠GAD为AE、BF所成的角,设正方体棱长为1,△GAD中,利用勾股定理可得 . 又EG= ,由余弦定理可得 ,故选 C.
6. 正方体ABCD,A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CC1的中点,则AE、BF所成的角的余弦值是( )A.?15B.265C
取DD1的中点G,由GA∥BF 且GA=BF 可得∠GAD为AE、BF所成的角,设正方体棱长为1,△GAD中,利用勾股定理可得AE=AG=1+14=52. 又EG=2,由余弦定理可得 2=54+54-2×52×52cos∠EAG,∴cos∠EAG=15,故选 C.
7. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么直线AE与D1F所成角的余弦值为( )A.-45
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(2,2,1)D1(0,0,2),F(0,2,1)∴AE=(0,2,1),D1F=(0,2,-1),设异面直线AE与D1F所成角为θ,则cosθ=|cos<AE,D1F>|=|00+4?15?5|=35.故选B.
8. 正方体ABCD-A1B1C1D1,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成的角的余弦值
解:∵BC∥AD, ∴异面直线AE与BC的夹角就是AE与AD的夹角.
设正方体的棱长为1.
则,AD1^2=1+1+2.
AE^2=AD1^2+D1E^2.
=2+(1/2)^2.
=9/4.
AE=3/2.
在直角三角形ADE中,cos=AD/AE.
=1/(3/2).
=2/3,
∴cos=2/3.