纽结理论的基本问题

1. 纽结理论的基本问题

绳结是人人熟悉的，史前时期就有结绳记事。试一试就会相信，图1中的两个结不一样：没法把一个变形成另一个，除非把绳头抽回重穿。绳子的粗细、长短、曲直允许改变，单单不许绳头重穿。由于这条规矩不易精确描述，那么索性规定绳的两端要捻合起来（于是刚才的两个结要改画成图2）。这样就可以得到了数学上的定义：纽结是三维空间中的不与自己相交的封闭曲线，或者说，三维空间中的与圆周同胚的图形。两个纽结等价是指存在三维空间本身的一个变形，把一个变成另一个。与平面上的圆周等价的纽结称为平凡纽结（因为把未打结的绳子两头捻合得到的圈可以放在平面上）。同时这也是绳结魔术的数学道理。如果不是考虑一条闭曲线,而是同时考虑h条闭曲线，要求它们既不自交也不互交,那么就得到h圈链环的概念。等价性的定义也与纽结的相仿。图3中是两个非平凡的（即不等价于互相分离的圆周的）双圈链环，它们彼此也不等价。纽结理论的基本问题是:怎样区分不等价的纽结(或链环)？它是三维拓扑学的一部分,因为曲线打结与链锁是三维空间所特有的现象（平面上、四维以上的空间里曲线都不会打结），而且它所研究的是闭曲线在三维空间中安放方式的差异，并不是闭曲线本身（它们都与圆周同胚，因而彼此都同胚）。

2. 纽结理论的介绍

纽结理论是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学上的术语来说，是研究如何把若干个圆环嵌入到三维实欧氏空间中去的数学分支。纽结理论的特别之处是它研究的对象必须是三维空间中的曲线。在两维空间中，由于没有足够的维数，我们不可能把让一根曲线自己和自己缠绕在一起打成结；而在四维或以上的空间中，由于维数太多，无论怎么样的纽结都能够很方便地被解开成没有结的曲线。

3. 纽结理论的纽结的运算

在一条绳上先后打两个结，其结果称为两个结的和（图7）。很明显,这加法满足结合律,平凡结起着零的作用。交换律可以从图8看出。全体纽结在加法运算下构成一个交换半群。就象每个正整数在乘法运算下有惟一的素因子分解一样，每个非平凡的纽结可以分解成素纽结（即不能再分解的非平凡纽结，例如三叶结与8字结）的和,而且只有一个这样的分解式。方结是三叶结与其镜像之和，而懒散结则是两个三叶结之和。