斐波那契数列的原理是什么？

1. 斐波那契数列的原理是什么？

2. 斐波那契数列的规律是什么？

通项公式
　　（见图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）
　　注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2）（n>=3,n∈N*）
通项公式的推导
　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
　　如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式：
　　F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2），
　　显然这是一个线性递推数列。
　　方法一：利用特征方程（线性代数解法）
　　线性递推数列的特征方程为：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
　　∵F(1)=F(2)=1。
　　∴C1*X1 + C2*X2。
　　C1*X1^2 + C2*X2^2。
　　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。
　　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。
　　方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）
　　设常数r，s。
　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
　　则r+s=1， -rs=1。
　　n≥3时，有。
　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
　　……
　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。
　　联立以上n-2个式子，得：
　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。
　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。
　　上式可化简得：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
　　那么：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
　　……
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
　　（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
　　=(s^n - r^n)/(s-r）。
　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
　　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）
　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。
　　解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
　　得α+β=1。
　　αβ=-1。
　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
　　所以。
　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
　　由式1，式2，可得。
　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
与黄金分割的关系
　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割1.618.
　　1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...
　　越到后面，这些比值越接近黄金比.
　　证明：
　　a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
　　两边同时除以a[n+1]得到：
　　a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
　　若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，
　　则lim[n->；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；∞](a[n+1]/a[n])=x。
　　所以x=1+1/x。
　　即x²=x+1。
　　所以极限是黄金分割比..

3. 斐波那契数列在生活中有哪些典型的应用

1、斐波那契数可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子，直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。





2、树木的生长。由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。




与黄金分割关系
有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666.。。，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…。
越到后面，这些比值越接近黄金比。
证明
a［n+2］＝a［n+1］＋a［n］。两边同时除以a［n+1］得到：a［n+2］／a［n+1］＝1+a［n］／a［n+1］。若a［n+1］／a［n］的极限存在，设其极限为x，则lim［n-》；；∞］（a［n+2］／a［n+1］）＝lim［n-》；；∞］（a［n+1］／a［n］）＝x。所以x=1+1/x。即x²=x+1。所以极限是黄金分割比。

4. 斐波那契数列的定义是什么

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
通项公式：
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

5. 斐波那契数列的具体含义是什么？

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.
斐波那契数列的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.

6. 斐波那契数列有什么特殊性质

斐波那契数列特殊性质在于他的递推关系，最早兔子问题
1,1,2,3,5,8,13,21，..........
从第三项开始An=An-1+An-2,即后面一项是前2项之和，
将首项增减，或改变递推关系，可以得到一些变种
        斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
详见http://baike.baidu.com/link?url=ryFO7MlIr_b4puYbabkFtfwnc7zsi9aVjrPlIA0sV2XtwXf7BoJtnxjrdctPPgItj05uiVl1DYlMkHXfm135BUxaOolffH_s9gs5HAgA72DLY61hqV61CcSwBV0KRsm-hVjkZbJ8wR_sBXdQXhyZHHgQ2QcEf59kH9GFdJwYl2gYS8VltD3msBWyJjtlI64KO5JNVkh6xl7EXp5JYsYT1jIuW97IsIqSCsUp1jHdbzC

7. 斐波那契数列规律是什么？

斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

应用
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线等。

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

8. 斐波那契数列在生活中有哪些典型的应用

1、斐波那契数可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子，直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。





2、树木的生长。由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。




与黄金分割关系
有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666.。。，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…。
越到后面，这些比值越接近黄金比。
证明
a［n+2］＝a［n+1］＋a［n］。两边同时除以a［n+1］得到：a［n+2］／a［n+1］＝1+a［n］／a［n+1］。若a［n+1］／a［n］的极限存在，设其极限为x，则lim［n-》；；∞］（a［n+2］／a［n+1］）＝lim［n-》；；∞］（a［n+1］／a［n］）＝x。所以x=1+1/x。即x²=x+1。所以极限是黄金分割比。