什么是沟股定理？

1. 什么是沟股定理？

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a^2+b^2=c^2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

2. 求解，沟股定理。

那个直角三角形中用勾股定理求出斜边为10，再根据三角形面积的求法底乘以高除以2，有6*8*0.5=10*高*0.5，求出高为4.8，所以长方形的两条边都求出来了，面积=4.8*10=48

3. 沟股定理(图，详解)

4. 怎么证明沟股定理

勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。 

据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 

勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 

1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 
a^2+b^2=c^2。 
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 

2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 

容易看出， 

△ABA’ ≌△AA'C 。 

过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 

于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 

即 a2+b2=c2。 

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 

⑴ 全等形的面积相等； 

⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 

这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 

如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 

西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 

如图， 

S梯形ABCD= (a+b)2 

= (a2+2ab+b2)， ① 

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED 

= ab+ ba+ c2 

= (2ab+c2)。 ② 

比较以上二式，便得 

a2+b2=c2。 

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 

在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 

我们发现，把①、②两式相加可得 

BC2+AC2=AB（AD+BD）， 

而AD+BD=AB， 

因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 

a2+b2=c2。 

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 

在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 

设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 

c2=a2+b2-2abcosC， 

因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 

a2+b2=c2。 

这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 

如此等等。

5. 沟股定律的由来

从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图
   
  设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
  ∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。对于勾股定理，记曰：“数之法，出于圆方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以为勾三，股四，弦五.直角三角形之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方，(a*a)+(b*b)=(c*c)”
  三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成玹方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。
  以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2 
应该有你想要的回答吧！

6. 怎样验证沟股定理

7. 此图证明沟股定理

np乘以pq等于49
四个小正方形加起来面积等于24
49减24等于中间正方形的面积25
所以cd等于5
勾3股4炫5
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8. 【急求解】股沟定理的题

在下也就弱弱的添上条件：EF是AB的中垂线（不然这题不好玩）
连结BE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3
∴AB=5
∵EF是AB中垂线,
∴AE=BE，AF=BF=5/2，
设AE=BE=X，则CE=4-X，
由BE²=CE²+BC²
得X²=(4-X)²+3²
解得X=25/8，
∴EF²=AE²-AF²=225/64，
∴EF=15/8