维纳过程的定义

1. 维纳过程的定义

若一个随机过程{X(t),t>=0}满足：⑴ X(t)是独立增量过程；⑵ 任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,σ^2*t），即X(s+t)-X(s）是期望为0，方差为σ^2*t的正态分布；⑶ X(t)关于t是连续函数。则称{X(t),t>=0}是维纳过程（Wiener process）或布朗运动。

2. 维纳过程的介绍

维纳过程是一个重要的独立增量过程，也称作布朗运动过程。

3. 维纳过程的特点

维纳过程又称布朗运动，它具有如下特点：⑴它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。⑵维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。⑶它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。给定二阶矩过程{W(t),t>=0},如果它满足⒈具有独立增量⒉对任意的t>s>=0，增量W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0⒊W(0)=0则称此过程为维纳过程.维纳过程是布朗运动的数学模型. 英国植物学家布朗在显微镜下，观察漂浮在平静的液面上的微小粒子，发现它们不断地进行着杂乱无章的运动，这种现象后来称为布朗运动. 以W(t）表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标（同样也可以讨论纵坐标），且设W(0)=0，根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果. 于是，粒子在时段（s,t]上的位移可以看作是许多微小位移的代数和. 则W(t)-W(s）服从正态分布.维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程. 它也是正态过程. 其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定. 维纳过程不只是布朗运动的数学模型，电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程.期货定价模型BS模型中，期货价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响，两者也都是遵循相同的维纳过程。

4. 维纳过程的一维维纳过程的性质

 对任意的正实数，一维维纳过程在时刻是一个随机变量，它的概率密度函数是：这是因为按照维纳过程的定义，当时，可以推出的分布：它的数学期望是零： 它的方差是：在维纳过程的独立增量定义中，令，，那么和是相互独立的随机变量，并且所以两个不同时刻，与的协方差和相关系数是： 维纳过程中的即时最大值与的联合概率分布是：而即时最大值的分布是对的积分：即时最大值的数学期望是：由于维纳过程上下对称，即时最小值显然是即时最大值的相反数。 将一个维纳过程不断按比例展开，它的一部分就会呈现另一个维纳过程的样子  尺度不变性：对任意的正实数，随机过程都仍然是一个维纳过程。  时间反转：对任意的正实数，随机过程和性质相同。  空间对称：随机过程也是一个维纳过程。  时间反演：随机过程也是一个维纳过程。  时间平移不变性和马尔可夫性质维纳过程具有马尔可夫性质，也就是说，在任意一点之后的走势仅仅和这一点的取值相关，而与之前的取值无关。也就是说，对任何的有界连续函数，因此维纳过程具有时间平移不变性：随机过程也是一个维纳过程。不仅如此，维纳过程还满足强马尔可夫性质：对任意的有限停时，随机变量独立于滤波。也就是说，对任何的有界连续函数，维纳过程的强马尔可夫性质，说明即便给定的时间不是定时而是一个停时，维纳过程在停时之后的走势仍然与之前无关。所以，将停时之后的维纳过程上下反转，仍然会是一个维纳过程。用数学语言来说，就是：给定一个停时之后，随机变量：也是一个维纳过程。这个性质也称为维纳过程的反射原理。作为推论，可以建立即时最大值与的另一种关系。设有正实数停时，那么。运用反射原理可以证明，。更一般地，设有 ，则。

5. 维也纳体系的形成过程

　　拿破仑用战争向欧洲输出革命，欧洲的封建君主非常惧怕，他们联合对抗法国。虽然当时已处于蒸汽时代，工业资本主义已成为发展潮流。但是由于欧洲大陆封建势力的联合力量大大超过资本主义力量，拿破仑战败。在制裁法国的基础上，战胜的欧洲封建君主们召开了维也纳会议，确定了欧洲的封建统治秩序和国家体系。我们称之为维也纳体系。维也纳体系后，英国重新控制了欧洲，并且达成了欧洲势力均衡，世界国际关系的中心舞台仍然停留在欧洲。欧洲这种独领风骚的状态一直持续到第一次世界大战
　　拿破仑一世战败后，被迫于1814年4月6日宣布退位，同年5月30日,反法联盟国家同法国签订了《法、奥、俄、英和普和平条约》，即《第一次巴黎和约》。根据和约第32条的规定，参战各方于1814年10月1日至1815年6月9 日在奥地利首都维也纳举行会议(即维也纳会议)。会议的主要目的是：恢复拿破仑战争时期被推翻的各国旧王朝及欧洲封建秩序，防止法国东山再起，战胜国重新分割欧洲的领土和领地。各战胜国都想乘机扩张自己的领土和领地，彼此争夺十分激烈，尤其是在华沙公国和萨克森问题上，俄、普和奥、英互不相让。会议因拿破仑百日政变曾一度中断，后于1815年6月9日，由英、俄、奥、普、葡、法、瑞典七国签署了《维也纳会议最后议定书》,正文 121条和17条附带条款。主要内容是:①恢复波旁王朝对法国、西班牙、两西西里王国的统治，布拉干萨王朝对葡萄牙的统治以及奥伦治王朝对荷兰的统治。②华沙公国的大部分地区成立波兰王国，由俄国沙皇兼任国王。克拉科夫及其毗邻地区组成克拉科夫自由市，由俄、奥、普共管，确认俄国对芬兰和比萨拉比亚的占有。③奥地利收复加里西亚、蒂罗尔及伊斯特里亚等地，原奥属尼德兰划给荷兰，而以意大利的伦巴第和威尼斯作为补偿。④普鲁士占有波兰公国的但泽和波森，并取得2/5的萨克森王国领土、莱因-威斯特伐利亚以及原属于瑞典的波美拉尼亚，作为失去波兰的补偿。⑤英国占有地中海的马耳他岛及伊奥尼亚群岛，并得到了丹属赫尔果兰岛，荷属锡兰、好望角和圭亚那，法属圣卢西亚岛、多巴哥岛、塞舌尔群岛和毛里求斯岛。⑥继续保持德意志和意大利的分裂状态，在德意志成立由普鲁士、奥地利等34个君主国及 4个自由市组成的德意志邦联，设立由奥地利任主席的邦联议会，意大利的托斯卡纳、摩德纳、帕尔马等公国划归为奥地利哈布斯堡王朝宗室的领地，热那亚、萨瓦和尼斯并入撒丁王国。⑦奥属尼德兰并入荷兰,称尼德兰王国,挪威同瑞典合并，组成瑞典 -挪威联盟，丹麦取得石勒苏益格、荷尔斯泰因和普鲁士的劳恩堡。⑧根据《第一次巴黎和约》及1815年11月20日的《第二次巴黎条约》，法国保持其1790年的国界，并向反法联盟国家支付战争赔款 7亿法郎，联盟国家在法国驻军3～5年。⑨确认会议期间所签署的17项条约、专约、宣言、规章及其他文件，如《各国关于取缔贩卖黑奴的宣言》、《关于河流自由航行的规章》、《关于外交人员位次的规则》等，同本议定书具有同等效力和约束力。⑩邀请出席维也纳会议各国加入本议定书。此外，1815年11月20日，奥、法、英、普、俄五国在巴黎签署了《关于承认和保证瑞士永久中立及其领土不受侵犯的宣言》。